Una famiglia di elementi finiti per la piastra inflessa basata sull espansione in polinomi ortogonali della curvatura

In questo lavoro viene presentata un famiglia di elementi finiti semplici per il modello della piastra sottile inflessa (KP da Kirchhoff Plate). La letteratura sull’argomento `e molto vasta e nonostante che dall’inizio dell’era degli elementi finiti siano state formulate centinaia di proposte la questione `e ancora aperta come testimoniato dalla pubblicazione abbastanza regolare di nuove formulazioni sulle riviste specializzate. La famiglia di elementi finiti qui proposta, denominata ACKP (Approximate Compatible Kirchhoff) `e basata su una constatazione molto semplice ma apparentemente ignorata fino ad oggi: dato un campo di spostamenti trasversali definito su un elemento, espandendo le sue curvature in serie di polinomi ortogonali, i coefficienti della parte affine dell’espansione dipendono solamente dalla traccia e dalla traccia normale ( derivata normale) dello spostamento sulla frontiera dell’elemento. In altre parole, le traccie dello spostamento elementare definiscono completamente una approssimazione affine della curvatura interna, ottimale nel senso che coincide con la proiezione della curvatura (delle sue componenti) nello spazio dei polinomi affini rispetto ad una norma appropriata. Partendo da questo presupposto, negli elementi ACKP si rinuncia ad una descrizione del campo di spostamenti interno assumendo invece un andamento polinomiale per le traccie di tipo compatibile che garantisce cio`e la continuit`a inter-elementare di spostamenti e derivate prime. L’energia elastica dell’elemento viene determinata in base all’approssimazione affine delle curvature ottenuta dalle tracce. La convergenza degli elementi ACKP `e garantita dal soddisfacimento quasi automatico dello IET(Individual Element Test). Si dimostra, inoltre, che su base elementare l’energia elastica di un elemento ACKP `e sempre inferiore a quella di un corrispondente elemento compatibile, cio`e di un elemento CKP con le stesse traccie. Questo fatto mitiga uno dei difetti maggiori degli elementi CKP ovvero l’eccessiva rigidezza (tacendo su quanto complicata sia la loro costruzione), e fa dell’ ACKP un elemento semplice, dotato cio`e dei classici gradi di libert`a ingegneristici, con caratteristiche interessanti. La sperimentazione numerica ha rilevato che la rigidezza dell’ACKP `e intermedia tra quella degli elementi DKP (Discrete Kirchhoff Plate) e quelle di tipo CKP