Additive covariance matrix models with applications to energy demand modelling

The present work aims to expand the multivariate Gaussian additive models, capturing the potentially varying nature of the variance and dependence parameters by modelling in a semi-parametric way the entries of two unconstrained parametrisations of the covariance matrix. In this respect, the approaches based on the modified Cholesky decomposition and the matrix logarithmic transformation are studied for the additive covariance matrix modelling task. The real challenge for developing such a class of models is represented by the high-dimensionality, being the positive-definiteness of the covariance matrix ensured by construction. Then, efficient computational strategies are exploited and framed into the well-established inferential framework of the generalized additive models, reaching a good degree of scalability for moderate dimensions of the outcome vector. Joint modelling of the electricity net-demand across the regions constituting Great Britain's network shows the importance to take into account temporal and exogenous factors for modelling the covariance structure. This application motivates the use of a flexible and interpretable modelling approach, able to provide spatially coherent, probabilistic short-term net-demand forecasts that can support energy system operations, whose improvements can yield substantial economic and operational benefits. The methods for fitting and exploring the model output are included in a software package, whose basic usage is illustrated using a small-scale gas demand application. The proposed framework would address further study and methodological developments, as well as support modelling the varying covariance matrix structures, which are pervasive in several domains, such as economics, finance, engineering, and life-sciences.

L'obiettivo di questo lavoro è quello di ampliare i modelli additivi Gaussiani multivariati, tenendo conto della possibile eterogeneità dei parametri di dispersione e di dipendenza mediante modellazione semi-parametrica degli elementi non vincolati di due parametrizzazioni della matrice di covarianza. Gli approcci basati su una versione modificata della decomposizione di Cholesky e sulla trasformazione matriciale logaritmica sono analizzati nello sviluppo dei modelli additivi per la matrice di covarianza. La vera difficoltà nello sviluppo di questa classe di modelli giace nell'elevata dimensionalità, poichè la matrice di covarianza è definita positiva per costruzione. Pertanto, sono state sviluppate strategie di calcolo efficienti e adattate all'interno dei ben consolidati strumenti inferenziali relativi ai modelli additivi generalizzati, ottenendo una notevole scalabilità per moderate dimensioni del vettore di risposte. La modellazione congiunta della domanda elettrica netta regionale della Gran Bretagna mostra l'importanza dell'utilizzo di variabili temporali e esogene nella modellazione della matrice di covarianza. Questa applicazione motiva l'utilizzo di un approccio modellistico flessibile e interpretabile, in grado di fornire predizioni probabilistiche a breve termine della domanda netta, che possano supportare le attività connesse al sistema energetico e i cui miglioramenti sono responsabili di notevoli benefici economici e gestionali. L'adattamento del modello e l'esplorazione dei risultati sono supportati da una libraria software, il cui utilizzo su scala ridotta è illustrato mediante un'analisi della domanda di gas. L'approccio proposto permette ulteriori investigazioni e sviluppi metodologici, così come vuole incentivare la modellazione di strutture eterogenee della matrice di covarianza riscontrabili nei settori economico, finanziario, ingegneristico e delle scienze della vita.