Der Verf. studiert den Durchschnitt aller maximalen modularen Teilverbände des Untergruppenverbandes ${\goth L}(G)$ einer Gruppe $G$ und nennt ihn ${\goth Z}(G)$, da er genau die von Zacher bereits 1955 studierten Untergruppen enthält, die mit jedem modularen Teilverband einen modularen Teilverband von ${\goth L}(G)$ erzeugen. Natürlich gehören 1 und $G$ zu ${\goth Z}(G)$, und der Verf. zeigt, dass eine der folgenden drei Aussagen gilt, wenn $G$ eine endliche $p$-Gruppe mit $p>2$ und $M\in{\goth Z}(G)$ mit $1<M<G$ ist:\par (1) ${\goth L}(G)$ ist modular.\par (2) $M\le\langle x^p\mid x\in H\rangle$ für jedes $H\le G$ mit ${\goth L}(H)$ nicht modular.\par (3) $M$ enthält jede nicht permutable Untergruppe von $G$.\par Der Verf. gibt Beispiele für $p$-Gruppen mit Elementen von ${\goth Z}(G)$, die Eigenschaft (2) bzw. (3) haben. Ob aber jedes solche $M$ zu ${\goth Z}(G)$ gehört, bleibt offen. [R.Schmidt (Kiel)]
Modular sublattices in a finite p-group
MAINARDIS, Mario
1998-01-01
Abstract
Der Verf. studiert den Durchschnitt aller maximalen modularen Teilverbände des Untergruppenverbandes ${\goth L}(G)$ einer Gruppe $G$ und nennt ihn ${\goth Z}(G)$, da er genau die von Zacher bereits 1955 studierten Untergruppen enthält, die mit jedem modularen Teilverband einen modularen Teilverband von ${\goth L}(G)$ erzeugen. Natürlich gehören 1 und $G$ zu ${\goth Z}(G)$, und der Verf. zeigt, dass eine der folgenden drei Aussagen gilt, wenn $G$ eine endliche $p$-Gruppe mit $p>2$ und $M\in{\goth Z}(G)$ mit $1I documenti in IRIS sono protetti da copyright e tutti i diritti sono riservati, salvo diversa indicazione.
